Question

в треугольнике АВС угол ВАС= 45, угол ВСА= 60. Длина стороны ВС= корень из 3. Найти площадь треугольника ВОС, где О- центр описанной около треугольника АВС окружности

Answer 1

Воспользуемся расширенной теоремой синусов, чтобы узнать радиус описанной окружности

 

$frac{BC}{sin 45^circ}=2R$

 

$frac{sqrt{3}}{frac{sqrt{2}}{2}}=2R$

 

$frac{2sqrt{3}}{sqrt{2}}=2R$

 

Сократим обе части на 2 и получим длину радиуса описанной окружности

 

$R=frac{sqrt{3}}{sqrt{2}}$

 

$R=sqrt{frac{3}{2}}$

 

Длины сторон треугольника ВОС равны

 

$BO=R=sqrt{frac{3}{2}},quad OC=R=sqrt{frac{3}{2}},quad BC=sqrt{3}$

 

По формуле Герона вычислим площадь треугольника ВОС

 

Сначала вычислим полупериметр

 

$p=frac{sqrt{3}+2*sqrt{frac{3}{2}}}{2}$

 

$p=frac{sqrt{3}+sqrt{6}}{2}$

 

$S_{Delta BOC}=sqrt{frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}*left(frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}-sqrt{3}right)*left(frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}-sqrt{frac{3}{2}}right)^2}$

 

 

$S_{Delta BOC}=sqrt{frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}*left(frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}-sqrt{3}right)}*left(frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}-sqrt{frac{3}{2}}right)$

 

$S_{Delta BOC}=sqrt{frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}*left(frac{sqrt{6}-sqrt{3}}{2}right)}*left(frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}-sqrt{frac{3}{2}}right)$

 

$S_{Delta BOC}=sqrt{frac{6-3}{4}right)}*left(frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}-sqrt{frac{3}{2}}right)$

 

$S_{Delta BOC}=sqrt{frac{3}{4}}*left(frac{sqrt{6}+sqrt{3}}{2}-sqrt{frac{3}{2}}right)$

 

$S_{Delta BOC}=sqrt{frac{3}{4}}*left(sqrt{frac{3}{2}}+frac{sqrt{3}}{2}-sqrt{frac{3}{2}}right)$

 

$S_{Delta BOC}=sqrt{frac{3}{4}}*frac{sqrt{3}}{2}$

 

$S_{Delta BOC}=frac{3}{4}$

 

Ответ:$S_{Delta BOC}=frac{3}{4}$ - квадратных единиц.