Question

Выведите формулу для суммы членов последовательности:
$dfrac{1}{2^2} + dfrac{1}{3^2} + dfrac{1}{4^2} + ... + dfrac{1}{(n + 1)^2}$
или докажите, что
$dfrac{1}{2^2} + dfrac{1}{3^2} + dfrac{1}{4^2} + ... + dfrac{1}{(n + 1)^2} textless 1$
Заранее спасибо!

Answer 1

Заметим, что 
$displaystyle frac1{n^2} textless frac1{n(n-1)}=frac1{n-1}-frac1n$

Тогда
$displaystylefrac1{2^2}+frac1{3^2}+dots+frac1{(n+1)^2} textless frac11-frac12+frac12-frac13dots+frac1n-frac1{n+1}=\=1-frac1{n+1} textless 1$