Question

Помогите!!!!
Sin2x-5sinx+5cosx+5=0

Answer 1

$displaystyle sin2x-5sinx+5cosx+5=0\\ 2sinx*cosx-5(sinx- cosx)+5=0$

введем новую переменную

$displaystyle sinx-cosx=t\\(sinx-cosx)^2=t^2\\sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=t^2\\1-2sinx*cosx=t^2\\2sinx*cosx=1-t^2$

теперь выполним замену переменной

$displaystyle 1-t^2-5t+5=0\\-t^2-5t+6=0\\t^2+5t-6=0\\D=25+24=49\\t_{1.2}= frac{-5pm 7}{2}\\t_1=-6: t_2=1$

теперь делаем обратную замену

$displaystyle sinx-cosx=-6\\-1 leq sinx leq 1; -1 leq cosx leq 1$

решений нет

$displaystyle sinx-cosx=1$

решу аналитическим способом
такое равенство возможно в двух случаях
$displaystyle left { {{sinx=1} atop {cosx=0}} right. ; left { {{sinx=0} atop {cosx=-1}} right.\\ left { {x= frac{ pi }{2}+2 pi n; nin Z} atop {x= frac{ pi }{2}+pi k; kin Z}} right. ; left { {{x= pi n; nin Z} atop {x= pi +2 pi k; kin Z}} right.$

Значит ответом будет 
$displaystyle x= frac{ pi }{2}+2 pi n; nin Z; x= pi +2 pi k; kin Z$

можно решить алгебраически

$displaystyle sinx-cosx=1\\ frac{ sqrt{2}}{2}sinx- frac{ sqrt{2}}{2}cosx= frac{ sqrt{2}}{2}\\cos( frac{ pi }{4})*sinx-sin frac{ pi }{4}*cosx= frac{ sqrt{2}}{2}\\ sin(x- frac{ pi }{4})= frac{ sqrt{2}}{2}$

$displaystyle x- frac{ pi }{4}= frac{ pi }{4}+2 pi n; nin Z; x- frac{ pi }{4}= frac{3 pi }{4}+2 pi k; kin Z\\x= frac{ pi }{2}+2 pi n; nin Z; x= pi +2 pi k; kin Z$

Видим что ответы такие же.