Question

Срочно!!! ДУ 1-го порядка.

ДУ с разделяющимися переменными. Помогите решить.
x2y' – 4y = 0
y (2) = 1

Answer 1

$x^2y'-4y=0$
Разрешим наше дифференциальное уравнение
$y'= dfrac{4y}{x^2}$
Воспользуемся определением производной:
$dfrac{dy}{dx}= dfrac{4y}{x^2}$ - уравнение с разделяющимися переменными
$dfrac{dy}{4y}= dfrac{dx}{x^2}$ - уравнение с разделёнными переменными
Проинтегрируем обе части уравнения
$displaystyle intlimits { frac{dy}{4y} } ,= intlimits { frac{dx}{x^2} } ,$
$frac{1}{4} ln|y|=- frac{1}{x} +C$ - общий интеграл

Найдем задачу Коши: $y(2)=1$

$frac{1}{4} ln1=- frac{1}{2} +C\ \ C= frac{1}{2}$

Подставим в общий интеграл

$frac{1}{4} ln|y|=- frac{1}{x} + frac{1}{2}$ - частный интеграл


Ответ: $frac{1}{4} ln|y|=- frac{1}{x} + frac{1}{2}$