Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

Answer 1

$y=x^2 \ y= sqrt{-x} , x leq 0$

Найдем абсциссы точек пересечения графиков:
$x^2= sqrt{-x} \ x^4=-x \ x^4+x=0 \ x(x^3+1)=0 \ x_1=0 \ x^3+1=0; x^3=-1; x_2=-1$

Тогда, для нахождения площади нужно вычислить определенный интеграл $intlimits^0_{-1}{ left(sqrt{-x}-x^2right) } , dx$:
$intlimits^0_{-1}{ left(sqrt{-x}-x^2right) } , dx = intlimits^0_{-1}{ left((-x)^frac{1}{2} -x^2right) } , dx = \ = left(- dfrac{(-x)^ frac{3}{2} }{ frac{3}{2} } - dfrac{x^3}{3} right) } |^0_{-1}= left( dfrac{2x sqrt{-x} }{ 3 } - dfrac{x^3}{3} right) } |^0_{-1}= \ = left( dfrac{2cdot0 sqrt{0} }{ 3 } - dfrac{0^3}{3} right) - left( dfrac{2cdot(-1) sqrt{-(-1)}}{3} - dfrac{(-1)^3}{3} right) = \ =-left(-dfrac{2}{3} + dfrac{1}{3} right)= dfrac{1}{3}$