Question

Вычислить определенный интеграл

Answer 1

$intlimits^{pi/4}_0 { dfrac{x}{cos^2x} } , dx$

Находим неопределенный интеграл. Интегрируем по частям:
$intlimits {u} , dv=uv- intlimits {v} , du \\ u=x Rightarrow du=dx \\ dv= dfrac{dx}{cos^2x} Rightarrow v=mathrm{tg}x$

$intlimits { dfrac{x}{cos^2x} } , dx=xmathrm{tg}x- intlimits {mathrm{tg}x} , dx =xmathrm{tg}x- intlimits { dfrac{sin x}{cos x} } , dx = \ =xmathrm{tg}x- left(-intlimits { dfrac{d(cos x)}{cos x} } right)= xmathrm{tg}x+ln|cos x|+C$

Находим определенный интеграл:
$intlimits^{pi/4}_0 { dfrac{x}{cos^2x} } , dx=left(xmathrm{tg}x+ln|cos x|right)|^{pi/4}_0= \ =left( frac{ pi }{4} cdotmathrm{tg} frac{ pi }{4} +ln|cos frac{ pi }{4} |right)-left(0cdotmathrm{tg}0+ln|cos 0|right)= \ =left( frac{ pi }{4} cdot1 +lnfrac{ sqrt{2} }{2} right)-ln1=frac{ pi }{4} +lnfrac{ sqrt{2} }{2}$

Answer 2

спасибо