Question

Помогите, пожалуйста, вычислить предел, используя правило Лопиталя:
limx-->1 [x/(x-1) - 1/lnx]

Answer 1

$limlimits _{x to 1} (frac{x}{x-1}-frac{1}{lnx})=limlimits _{xto 1} frac{xcdot lnx-(x-1)}{(x-1)cdot lnx} =Big [frac{0}{0}Big ]=limlimits _{xto 1} frac{lnx+frac{x}{x}-1}{lnx+frac{x-1}{x}} =\\= limlimits _{xto 1} frac{lnx}{lnx+1-frac{1}{x}}=Big [frac{0}{0}Big ]=limlimits _{x to 1} frac{frac{1}{x} }{frac{1}{x}+frac{1}{x^2}} = limlimits _{x to 1} frac{x}{xcdot frac{x+1}{x^2}} = limlimits _{x to 1} frac{x^2}{x+1}=\\=frac{1^2}{1+1} =frac{1}{2}$