Question

Упростите выражения:
а)(sin36°+sin40°+sin44°+sin48°)/(2sin88°cos4°sin42°)
б)(cos6°+cos12°+cos36°+cos42°)/(sin87°cos15°cos24°)
в)(cos16°-cos24°-cos32°+cos40°)/(cos86°sin8°cos28°)
г)(sin48°-sin60°-sin72°+sin84°)/(4cos84°sin12°sin66°)

Answer 1

Воспользуемся формулами преобразования суммы в произведение:
$sinx+siny=2sin frac{x+y}{2}cos frac{x-y}{2}$
$cosx-cosy=-2sin frac{x+y}{2}sin frac{x-y}{2}$
$cosx+cosy=2cos frac{x+y}{2}cos frac{x-y}{2}$
a)
$frac{sin36к+sin40к+sin44к+sin48к}{2sin88кcos4кsin42к} = frac{(sin36к+sin48к)+(sin40к+sin44к)}{2sin88кcos4кsin42к} =$$=frac{2sin42кcos6+2sin42кcos2к}{2sin88кcos4кsin42к}= frac{2sin42к(cos6+cos2к)}{2sin88кcos4кsin42к}=frac{cos6+cos2к}{sin88к*cos4к}=$$= frac{2cos4к*cos2к}{2sin88к*cos4к}= frac{cos(90к-88к)}{sin88к} = frac{sin88к}{sin88к}=1$

$sin36к+sin48к=2sin frac{36к+48к}{2}cos frac{36к-48к}{2} =2sin42кcos6к$
$sin40к+sin44к=2sin frac{40к+44к}{2}cos frac{40к-44к}{2} =2sin42кcos2к$
$cos6к+cos2к=2cos frac{6к+2к}{2}cos frac{6к-2к}{2} =2cos4кcos2к$
б)
$frac{cos6к+cos12к+cos36к+cos42к}{sin87кcos15кcos24к} = frac{(cos6к+cos42к)+(cos12к+cos36к)}{sin87кcos15кcos24к} =$$=frac{2cos24кcos18к+2cos24кcos12к}{sin87кcos15кcos24к}=frac{2cos24к(cos18к+cos12к)}{sin87кcos15кcos24к}=$$=frac{2(cos18к+cos12к)}{sin87кcos15к}= frac{2*2cos15кcos3к}{sin87к*cos15к} = frac{4cos3к}{cos(90к-3к)} = frac{4cos3к}{cos3к}=4$
в)
$frac{cos16к-cos24к-cos32к+cos40к}{cos86кsin8кcos28к} = frac{(cos16к+cos40к)-(cos24к+cos32к)}{cos86кsin8кcos28к} =$$=frac{2cos28кcos12к-2cos28кcos4к}{cos86кsin8кcos28к} = frac{2cos28к(cos12к-cos4к)}{cos86кsin8кcos28к} =frac{2(cos12к-cos4к)}{cos86кsin8к} =$$=frac{2*(-2sin8кsin4к)}{cos86кsin8к} = frac{-4sin4к}{cos(90к-4к)}= frac{-4sin4к}{sin4к}=-4$
г)
$frac{sin48к-sin60к-sin72к+sin84к}{4cos84кsin12кsin66к} = frac{(sin48к+sin84к)-(sin60к+sin72к)}{4cos84кsin12кsin66к}=$$=frac{2sin66кcos18к-2sin66кcos6к}{4cos84кsin12кsin66к}=frac{2sin66к(cos18к-cos6к)}{4cos84кsin12кsin66к}=$$=frac{cos18к-cos6к}{2cos84кsin12к}=frac{cos18к-cos6к}{2cos84кsin12к}=frac{-2sin12кsin6к}{2cos84кsin12к}=frac{-sin6к}{cos84к}=$$=frac{-sin6к}{cos(90к-6к)}=frac{-sin6к}{sin6к}=-1$