Question

Срочно! Даю 35 баллов.
Пусть $frac{m}{n}$— положительная несократимая дробь. На какое наибольшее число может быть сократима дробь$frac{2m+7n}{3m+5n}$ ?

Answer 1

Пусть 2m + 3n = rp, 7m + 2n = rq, НОД(p, q) = 1, при этом дробь сократима на r.

Выражаем m, n через r, p, q:

m = (3q - 2p)*r/17
n = (7p - 2q)*r/17

По условию m/n - положительная несократимая дробь, поэтому НОД(m, n) = 1. Чтобы m, n были взаимно просты, r должно быть равно 1 (и 3q - 2p, 7p - 2q делятся на 17), или r = 17; в противном случае оба числа делятся на какой-то делитель r.

r = 17 будет, например, если m/n = 1/5, тогда (2m+3n)/(7m+2n)=17/17.