Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=0, y=2x^2, y=8-x

Answer 1

Графики заданных линий это:
-  y=0 ось абсцисс,
-  y=2x² парабола ветвями вверх, проходящая через начало координат,
-  y=8 - x  прямая, проходящая сверху вниз слева направо через                    ординату у = 8.

Находим граничные точки фигур.
2x² = 8 - x.
2х² + х - 8 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*2*(-8)=1-4*2*(-8)=1-8*(-8)=1-(-8*8)=1-(-64)=1+64=65;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√65-1)/(2*2)=(√65-1)/4=√65/4-1/4=√65/4-0,25 ≈ 1,765564;                         x₂=(-√65-1)/(2*2)=(-√65-1)/4=-√65/4-1/4=-√65/4-0,25 ≈ -2,265564.

Прямая у = 8 - х пересекает ось Ох в точке х = 8 (при у = 0).

Осталось представить, какая фигура дана по заданию,
Можно принять фигуру их двух частей:
- первая - от крайней левой точки до х = 0 между прямой у = 8 - х и параболой,
- вторая - это треугольник между прямой и осью Ох.
$S_1= intlimits^0_{ frac{-1- sqrt{65} }{4} } {(8-x-x^2)} , dx =8x- frac{x^2}{2}- frac{x^3}{3}|_{frac{-1- sqrt{65} }{4}} ^0=12,9385.$
$S_2= frac{1}{2}8*8 = 32.$
S = S₁+S₂ = 12,9385+32 = 44,9385.

Другой вариант определения заданной площади приведен в приложении.

9dabcc12133965bef9633d5a1f967236.docx