Question

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y' cosx + y sinx = 1

Answer 1

Если левую и правую часть уравнения разделить на cos(x), то уравнение относится к типу линейным, неоднородным дифференциальным уравнениям.

Применим метод Бернулли.
Пусть $y=uv$, тогда $y'=u'v+uv'$. Подставим в исходное уравнение.
$uvsin x+(u'v+uv')cos x = 1\ u(vcdot sin x+v'cdot cos x)+u'vcos x=1$
Решение состоит из двух этапов:
1) Предполагаем что первое слагаемое примем за 0.
$u(vcdot sin x + v'cdot cos x)=0\ vsin x+v'cos x=0|:cos x\ vtg x+v'=0\ v'=-vcdot tgx$
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам, имеем:
$displaystyle frac{dv}{dx} =-v tg x$
 
$displaystyle frac{dv}{v} =-tg x,, dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения
$displaystyle intlimits { frac{dv}{v} } = -intlimits {tgx} , dx\ ln|v|=ln |cos x|\ v=cos x$
2) После того как нашли v(x), найдем u(x) из условия $u'vcos x=1$
Подставим
$u'cos ^2x=1\ \ u'= dfrac{1}{cos^2 x}$
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя обе части уравнения, получим
$displaystyle u= intlimit {dfrac{dx}{cos^2 x} } =tg x+C$
Таким образом, чтобы найти решение данного дифференциального уравнения, остаётся выполнить обратную замену.
$y=uv=(tg x + C)cdot cos x=sin x+Ccdot cos x$ - общее решение.


Ответ: $y=sin x+Ccdot cos x$