Question

Обчислить Площадь фигуры ограниченой линиями

1) у=12-х(в квадрате),у=х(в квадрате)-12

2)у=0,у=корень от х, х=12

 

Answer 1

1) найдем точки пересечения:

12-x^2=x^2-12

24=2x^2

x^2=12

x=±√12 - границы интеграла

найдем площадь положительной:

$intlimits^{-sqrt{12}}_{sqrt{12}} {(-x^{2}+12})} , dx=int{(-x^{2}+12})} , dx |^{-sqrt{12}}_{sqrt{12}}=$

$=(int-x^{2} , dx +int12 , dx) |^{-sqrt{12}}_{sqrt{12}}=(-frac{x^{3}}{3}+12x)|^{-sqrt{12}}_{sqrt{12}}=$

$=(-frac{(sqrt{12})^{3}}{3}+12*sqrt{12})-(-frac{-(sqrt{12})^{3}}{3}+12*(-sqrt{12}))=$

$=(-frac{12sqrt{12}}{3}+12sqrt{12})-(-frac{-12sqrt{12}}{3}-12sqrt{12})=$

$=8sqrt{12}-(-8sqrt{12})=16sqrt{12}$

т.к. отрицательная часть фигуры идентична (функции противаположны), то общая площадь равна $2*16sqrt{12}=32sqrt{12}$

ответ: 32√12

2) функция у=√х имеет левую границу равную 0 по х, правая равна 12(функция х=12)

$intlimits^{12}_0 {sqrt{x}} , dx=int{x^{frac{1}{2}}} , dx |^{12}_{0}}=frac{x^frac{3}{2}}{frac{3}{2}} |^{12}_{0}}=frac{12^frac{3}{2}}{frac{3}{2}}=frac{12*2*sqrt{12}}{3}=8sqrt{12}$

ответ: 8√12