Question

Внутри квадрата ABCD со стороной 1 произвольным образом выбирается точка M. Найдите наименьшее возможное значение выражения |MA|+|MB|+|MC|+|MD| В качестве ответа укажите квадрат этого числа.

Answer 1

 Выберем произвольно точку  $M$  тогда по неравенству  треугольников в треугольнике  $MDB$ получим $MD+MB geq B D$  причем последнее равенство выполняется когда $M$ есть точка пересечения диагоналей , аналогично и для треугольника $AMC$ , получим $MA+MC geq AC$ суммируя $MD+MB+MA+MC geq BD+AC$ тогда для того чтобы сумма была минимальной , точка $M$ должна являться точкой пересечения диагоналей  $BD cap AC in O$ , то есть $S = MD+MB+MA+MC geq OM+OC+OB+OA = \ AC+BD = 2sqrt{1^2+1^2} = 2sqrt{2}\ S^2=8$