Question

Решить два уравнения, Тема Показательные логарифмические неравенства.
ОДЗ обязательно

Answer 1

16. sqrt(log(0.5) (2*x + 1 / x - 3) < 1

ОДЗ:
x != 3 - по ОДЗ знаменателя
2*x + 1 / x - 3  > 0 - по ОДЗ логарифма
x = -0.5, x = 3
   +                 -              +
------ -0.5 ----------- 3 --------------
x <= -0.5; x > 3

2*x + 1 / x - 3  <= 1 - по ОДЗ корня

при x - 3 < 0, т.е. x < 3
2*x + 1 > x - 3
x >= -4
-4 <= x < 3

при x - 3 >= 0, т.е. x >= 3
2*x + 1 < x - 3
x <= -4
решений нет

Итого, ОДЗ:
x <= -0.5; x > 3
-4 <= x < 3
т.е.
-4 <= x <= -0.5

Возводим в квадрат
log(0.5) (2*x + 1 / x - 3) < 1
1 = log(0.5)(0.5)

Т.к. основание меньше 1, то между аргументами соотношение:
2*x + 1 / x - 3 > 0.5
при x - 3 > 0
2*x + 1 > (x - 3)/2
4*x + 2 > x - 3
3*x > -5
x > -5/3
т.е. x > 3

при x - 3 < 0
2*x + 1 < (x - 3)/2
т.е. x < -5/3

Т.о. решение:

x < -5/3; x > 3

С учетом ОДЗ (-4 <= x <= -0.5) решение выглядит так:
-4 <= x < -5/3

целые числа на этом интервале: -4 -3 -2, т.е. 3 штуки

20. sqrt(2)^(log3(x^2 + 8x + 7)) <= 2*sqrt(2)
2*sqrt(2) = sqrt(2)^3

 ОДЗ
x^2 + 8x + 7 > 0 - по ОДЗ логарифма
x1*x2 = 7
x1 + x2 = -8
x1 = -7, x2 = -1
  +          -            +
----- -7 ------- -1 -----------

x < -7, x > -1

(log3(x^2 + 8x + 7)) <= 3
Знак такой, т.к.sqrt(2) > 1

3 = log3(27)
Основание больше 1, соотношение сохраняется
x^2 + 8x + 7 <= 27
x^2 + 8x - 20 <= 0
x1*x2 = -20
x1 + x2 = -8
x1 = -10, x2 = 2
   +              -              +   
------ -10 ----------- 2 ---------

-10 <= x <= 2
c учетом ОДЗ (x < -7, x > -1) получаем:
-10 <= x < -7;  -1 < x <= 2;
С первого промежутка целые это -  -10 -9 - 8,  со второго - 0 1 2
Итого 3 + 3 = 6 корней