Question

x^5-5x^3-20x найдите наибольшее значение функции на отрезке [-3; 1]
Ответ: 48
Объясните почему.

Answer 1

Дана функция $f(x)=x^5-5x^3-20x$
Дифференцируем функцию по правилу: 
$f(x)=x^n$
$f'(x)=nx^{n-1}$
И находим $f'(x)$:
$f'(x)=5x^4-15x^2-20$
Приравняем производную функции к 0, чтобы найти точки экстремума.
$5x^4-15x^2-20=0$
Решим кв. уравнение, используя замену переменных:
$x^2=t$
$5t^2-15t-20=0$
$D=15^2+4*5*20=225+400=625$
$t_{1} = frac{15+25}{10} =4$
$t_{2} = frac{15-25}{10} =-1$
Вернемся к замене:
$x^2=-1$ - нет решений, т.к. $x^2 geq 0$
$x^2=4$
$x_{1}= 2$ - точка 2 не принадлежит отрезку $[-3;1]$ и ее мы использовать не можем.
$x_{2}= -2$ - точка -2 принадлежит отрезку $[-3;1]$
Находим значение функции в точке экстремума:
$f(-2)=(-2)^5-5(-2)^3+40=-32+40+40=48$
Находим значение функции на краях отрезка $[-3;1]$:
$f(-3)=-243+135+60=-48$
$f(1)=1-5-20=-24$
Наибольшее значение на отрезке $[-3;1]$ функция принимает в точке -2, и это значение равно 48.
Ответ:48