Question

Три числа, сумма которых равна 7, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Если бы большее из этих чисел было на 1 меньше, то числа бы составили арифметическую прог. Сколько членов геометрической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равно 255?

Answer 1

 

$1) a_1 + a_2 + a_3 = 7, a_1 = a_1, a_2 = a_1q, a_3 = a_1q^2,\\ a_1 + a_1q + a_1q^2 = 7, \\a_1(1 + q + q^2) = 7\\ 2) a_1 + a_2 + a_3 - 1 = 7 - 1, a_2 = a_1 + d, a_3 = a_1 + 2d\\ frac{3(a_1 + a_3 - 1)}{2} = 6,^{(*)}\\ a_1 + a_3 - 1 = 4,\\ a_2 + a_1 + a_3 - 1 = 6,\\ a_2 + 4 = 6, a_2 = 2\\ 3) a_2 = a_1q = 2, a_1 = frac{2}{q}, q ne 0$

 

$frac{2}{q}(1 + q + q^2) = 7 | * q\\ 2 + 2q + 2q^2 = 7q\\ 2 - 5q + 2q^2 = 0\\ q_1 = frac{5 - sqrt{25 - 16}}{4} = frac{1}{2}, q_2 = frac{5 + sqrt{25 - 16}}{4} = 2\\ 4_{a}) a_1 = 4, q = frac{1}{2},\\ a_1 + a_2 + ... + a_n = 255,\\ a_1(1 + q + ... + q^{n-1}) = 255,\\ S_{n} = 1 + q + ... + q^{n-1} = frac{(q^n - 1)}{q - 1},\\ limlimits_{n to +infty} S_{n} = frac{1}{q - 1}, |q| < 1\\ downarrow\\ q ne frac{1}{2}$

 

$4_{b}) a_1 = 1, q = 2,\\ a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1(1 + q + ... + q^{n-1}),\\ 1 + 2 + ... + 2^{n-1} = 255,\\ frac{2^{n} - 1}{2 - 1} = 255,\\ 2^{n} = 256,\\ 2^{n} = 2^{8}\\ boxed{n = 8}$

 

(*) - формула для суммы арифметической прогрессии: $S_n = n*frac{a_1 + a_n}{2}$