Question

Помогите с уравнением

Answer 1

$frac{x^2+1}{a^2*x-2a} - frac{1}{2-ax} = frac{x}{a}$
Область определения: а =/= 0, x =/= 2/a
Приводим к общему знаменателю a^2*x - 2a = a(ax - 2)
$frac{x^2+1}{a(ax-2)} + frac{a}{a(ax-2)} = frac{x(ax-2)}{a(ax-2)}$
Умножаем на знаменатель, переходим к целым выражениям.
x^2 + 1 + a = x(ax - 2) = ax^2 - 2x
x^2 + 2x + 1 - ax^2 + a = 0
(x + 1)^2 - a(x^2 - 1) = 0
(x + 1)^2 - a(x + 1)(x - 1) = 0
(x + 1)(x + 1 - a(x - 1)) = (x + 1)(x - ax + a + 1) = 0
x1 = -1
x(1 - a) + (a + 1) = 0
x(a - 1) = a + 1
x2 = (a + 1)/(a - 1)
a =/= 1
При а = 1 начальное уравнение превращается в такое:
$frac{x^2+1}{x-2}- frac{1}{2-x} = x$
$frac{x^2+1}{x-2}+ frac{1}{x-2} = frac{x(x-2)}{x-2}$
x^2 + 2 = x^2 - 2x
-2x = 2
x = -1
Но еще x =/= 2/a
2/a =/= -1; a =/= -2 (только для корня x = -1)
2/a =/= (a + 1)/(a - 1)
2(a - 1) =/= a(a + 1)
2a - 1 =/= a^2 + a
a^2 - a + 1 =/= 0 - это верно при любом а

Ответ: При a = 0 решений нет. При a = 1 будет x = -1.
При a = -2 будет x = (a+1)/(a-1) = (-2+1)/(-2-1) = 1/3.
При всех остальных а будет x1 = -1; x2 = (a+1)/(a-1)