Question

В квадрате 5 на 5 расставьте единицы, МИНУС единицы и нули так, чтобы суммы чисел в любой строке, столбце и на ОДНОЙ главной диагонали были различны

Answer 1

Это невозможно. 5 чисел, каждое из которых равно -1, 0 или 1, могут давать суммы -5, -4, ..., 4, 5 - не более 11 сумм. Так как нам нужно получить как раз 11 различных сумм - 5 по рядам, 5 по столбцам и 1 диагональ, то все они должны появиться.

Сумма 5 может получиться одним способом: 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Она не может быть получена на диагонали, тогда в любом столбце и строке будет единица, и нельзя получить -5 = -1 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1). Значит, она получилась в строке или столбце. Без ограничения общности будем считать, что она получена в строке.

Если есть строка из 1, то строку из -1 нельзя получить в столбце или на диагонали. Значит, строка из -1 тоже получена в какой-то строке. Теперь на диагонали и в любом столбце записаны числа 1 и -1, поэтому в них не получить суммы 4 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 и -4 = -1 + (-1) + (-1) + (-1) + 0. Значит, они тоже записаны в строках.

Посмотрим, что записано в столбцах и на диагонали: 1, -1, (1 или 0), (-1 или 0). Какую бы цифру мы не дописали, в столбце или на диагонали не получить 3 и -3. Но осталась только одна строка, и в ней одновременно получить и 3, и -3 невозможно.