Question

Помогите пожалуйста. желательно на листочке и подробно. Тк надо не тупо списать, а разобраться. 100баллов. Прошу. помогите.

Answer 1

Нам придется применять теорему косинусов:

$c^2=a^2+b^2-2abcosgamma,$

где a, b, c - стороны треугольника, а $gamma$ - угол, лежащий против стороны c.

Из тр-ка ADB 

$BD^2=2^2+6^2-2cdot 2cdot 6cdot cos 60^{circ}=28; BD=2sqrt{7}.$ 

Из тр-ка ADC

$CD^2=4^2+6^2-2cdot 4cdot 6cdot cos 60^{circ}=28; CD=2sqrt{7}.$ 

Опустим высоту DE на основание ABC. Из точки E опустим перпендикуляры EF и EG на стороны AB и AC соответственно. По теореме о трех перпендикулярах DF перпендикулярно AB, DG перпендикулярно AC. Прямоугольные треугольники ADF и ADG равны по общей гипотенузе и острому углу. Поэтому DF=DG, а тогда равны треугольники DFE и DGE, откуда EF=EG, то есть точка E лежит на биссектрисе угла A. Значит, углы FAE и GAE равны 45 градусам.

AF=AG мы ищем как катеты, лежащие против угла в 30 градусов - такой катет равен половине гипотенузы; AF=AG=6/2=3. Вторые катеты ищем или из теоремы Пифагора, или с помощью тригонометрии.  Так  или иначе, $DF=DG=3sqrt{3}$. Далее из равнобедренного прямоугольного треугольника AEF (или равного ему треугольника AEG) находим EF=AF=3, а из треугольника DFE (или из равного ему DGE) по теореме Пифагора находим DE - высоту пирамиды:

$DE^2=DF^2-FE^2=27-9=18; DE=3 sqrt{2.}$

Площадь основания ABC равна половине произведения катетов:  
$S_{ABC}=frac{1}{2}2cdot 4=4.$

Объем пирамиды равен $V=frac{1}{3}S_{ABC}cdot DE=4sqrt{2}.$

Далее найдем площадь треугольника BDC, запишем объем пирамиды через площадь этой грани и высоту, на нее опущенную, приравняем к полученному выше объему, откуда найдем неизвестную высоту. Требуемое расстояние, очевидно, в 2 раза меньше этой высоты.

$BD=BC=2sqrt{7}$ мы уже получили ранее, BC находим из прямоугольного треугольника ABC:

$BC^2=AB^2+AC^2=4+16=20; BC=2sqrt{5}.$

Для того, чтобы найти площадь треугольника BDC, опустим высоту DK на BC (в силу равнобедренности этого треугольника высота будет одновременно медианой и биссектрисой);

$DK^2=DB^2-BK^2=28-5=23; DK=sqrt{23}.$

$S_{BDC}=frac{1}{2}BCcdot DK=sqrt{115}.$

Приравняв друг к другу две формулы для вычисления объема пирамиды и сократив одну треть, получаем, что для нахождения неизвестной высоты, нужно произведение известной высоты и площади грани разделить на площадь второй грани. Поэтому высота, опущенная на грань BCD, равна 

$H=frac{DEcdot S_{ABC}}{S_{BDC}}=frac{3sqrt{2}cdot 4}{sqrt{115}}= frac{12sqrt{230}}{115}$ 

То, что требуемое расстояние в 2 раза меньше, предлагается доказать самостоятельно. Впрочем, интуитивно это совершенно очевидно: представьте себе лестницу, приставленную к стене под некоторым углом. Если расстояние от верхней ступеньки до пола известно, то, спустившись по лестнице до ее середины, уменьшим расстояние до пола в два раза.

Ответ: $frac{6sqrt{230}}{115}$

Замечание. Ответ получился не самый приятный. Но искать ошибку, когда ночь на дворе, не слишком приятно. Поэтому извините, если что не так.

Answer 2

Во-первых, F не является серединой AB. Во-вторых, Вы были бы правы, если плоскость BDC была бы перпендикулярна к плоскости основания

Answer 3

Решение и ответ верные, я решал через векторы, ответ тот же, выложить не успел...)

Answer 4

Хотите, я выложу эту задачу, чтобы Вы могли дать свое решение?

Answer 5

хорошо, я её как найду?...)