Question

Решить неопределенный интеграл(интегрирование по частям):

$x*ln*(x^2+1)*dx$

Answer 1

$int x ln(x^2+1)dx = frac{1}{2}int(ln(x^2+1))d(x^2+1) = frac{1}{2}int(ln t)dt$

Интегрирование логарифма производится по частям

представим, что

$u = ln t; v = t\ du = u'dt = frac{dt}{t}\ dv = v'dt = dt\ int ln t dt = int u dv = uv - int vdu = t ln t - int tfrac{dt}{t} = \ = t ln t - int dt = t ln t - t +C$

далее вернемся к нашему интегралу:

$frac{1}{2}int ln t dt =frac{t ln t - t}{2} + C = frac{x^2+1}{2}ln (x^2+1) - frac{x^2+1}{2} + C = \ =frac{x^2+1}{2}ln(frac{x^2+1}{e}) + C$