Question

решите уравнение (x-2)(x-1)(x+2)(x+3)=60 в ответе укажите произведение всех корней уравнения
полное решение пожалуйста

Answer 1

(x-2)(x-1)(x+2)(x+3) = 60

(x-2)(x+3)·(x-1)(x+2) = 60

(x²-2x+3x-6)(x²-x+2x-2) = 60

(x²+x-6)(x²+x-2) = 60

Пусть a = x²+x-2, тогда уравнение примет вид: (a-4)·a = 60.

a²-4a-60 = 0  |:4

$displaystyle frac{a^2}4 -a-15=0\ D=(-1)^2-4cdot frac14 cdot (-15) =1+15=4^2\ a=frac{-(-1)pm sqrt{4^2}}{2cdot frac14 } =frac{1pm 4}{1/2} =2pm 8={-6;10}$

Проведём обратную замену:

$begin{bmatrix}displaystyle x^2+x-2=-6\ displaystyle x^2+x-2=10end{matrix} \ \ begin{bmatrix}displaystyle x^2+x+4=0;; ; D! =! 1^2! -! 4! cdot ! 1! cdot ! 4! =! 1! -! 16! =! -15! <! 0Rightarrow xin varnothing qquad quad \ displaystyle x^2+x-12=0;; ; D! =! 1^2! -! 4! cdot ! 1! cdot ! (-12)! =! 1! +! 48! =! 7^2Rightarrow x! =! frac{-1pm sqrt{7^2}}{2cdot 1}end{matrix}$

$begin{bmatrix}displaystyle xin varnothing qquad \displaystyle x=frac{-1pm 7}2 end{matrix} qquad begin{bmatrix}displaystyle x=frac{-8}2 \ \ displaystyle x=frac62 ; ; end{matrix} \ \ begin{bmatrix}displaystyle x=-4\ displaystyle x=3; ; end{matrix} ;qquad -4cdot 3=-12$

Ответ: -12.