Question

Log 1/2 (3[-4) - log 1/2 (3x +4)< log 1/2 (x-2) + 2

Answer 1

$log_{ frac{1}{2}}(3x-4)- log_{ frac{1}{2}}(3x+4) textless log_{ frac{1}{2}}(x-2)+2; \ log_{ frac{1}{2}}(3x-4)- log_{ frac{1}{2}}(3x+4) textless log_{ frac{1}{2}}(x-2) + log_{ frac{1}{2}} frac{1}{4}; \ log_{ frac{1}{2}}( frac{3x-4}{3x+4}) textless log_{ frac{1}{2}}((x-2)* frac{1}{4}); \ frac{3x-4}{3x+4} textgreater frac{x-2}{4}; \ frac{12x-16-(3x+4)(x-2)}{4(3x+4)} textgreater 0; \ frac{12x-16-(3x^2-6x+4x-8)}{4(3x+4)} textgreater 0; \ frac{12x-16-3x^2+2x+8}{4(3x+4)} textgreater 0; \ frac{-3x^2+14x-8}{4(3x+4)} textgreater 0;$
$frac{3x^2-14x+8}{4(3x+4)} textless 0; \ frac{(x-4)(3x-2)}{4(3x+4)} textless 0;$
Так как неравенство строгое, то оно равносильно неравенству
(x-4)(3x-2)(3x+4)<0;
Неравенство можно решить методом интервалов.
Нули: 4; 2/3; -4/3.
Промежутки:
(-∞;-4/3), (-4/3;2/3), (2/3;4), (4;+∞)
     -                +             -          +
х∈(-∞;-4/3)∪(2/3;4).
ОДЗ:
3x-4>0;
3x>4;
x>4/3;
3x+4>0;
3x>-4;
x>-4/3;
x-2>0;
x>2.
Общее решение:
х∈(2;4).
Ответ: (2;4).