Question

|x + 1| − |x| + 3| x− 1| x− 2|x − 3| ≥ | x+ 2|

Answer 1

|x+1|-|x|+3|x-1|x-2|x-3|≥|x+2|
Рассмотрим нули подмодульных выражений: x=-1; x=0; x=1; x=3; x=-2.
Пусть x≤-2 : -x-1+x-3(x-1)x+2x-6≥-x-2
-1-3x^2+3x+2x-6≥-x-2
-3x^2+6x-5≥0
3x^2-6x+5≤0
D/4=9-15<0 => неравенство не имеет решений, поскольку выражение в левой части представляет собой параболу ветви вверх, которая не пересекает ось оХ, соответственно никогда не принимает неположительных значений.
Пусть -2<x≤-1
-x-1+x-3x(x-1)+2x-6≥x+2
-1-3x(x-1)+2x-6≥x+2
-1-3x^2+3x+2x-6-x-2≥0
-3x^2+4x-9≥0
3x^2-4x+9≤0
D/4=4-27<0 => неравенство не имеет решений
Пусть -1<x≤0
x+1+x-3x(x-1)+2x-6≥x+2
1+x-3x(x-1)+2x-6-2≥0
1+x-3x^2+3x+2x-8≥0
-3x^2+6x-7≥0
3x^2-6x+7≤0
D/4=9-21<0 => неравенство не имеет решений
Пусть 0<x≤1
x+1-x-3x(x-1)+2x-6≥x+2
1-3x(x-1)+2x-6-x-2≥0
1-3x^2+3x+2x-6-x-2≥0
-3x^2+4x-7≥0
3x^2-4x+7≤0
D/4=4-21<0 => неравенство не имеет решений
Пусть 1<x≤3
x+1-x+3x(x-1)+2x-6≥x+2
1+3x(x-1)+2x-6≥x+2
1+3x^2-3x+2x-6-x-2≥0
3x^2-2x-7≥0
D/4=1+21=22
x=(1- sqrt{22})/3
x=(1+ sqrt{22})/3
Неравенство верно при x≤(1- sqrt{22})/3 и при x≥(1+ sqrt{22})/3.
Но также необходимо учесть условие 1<x≤3. Сравним значения 1 и (1- sqrt{22})/3:
(1- sqrt{22})/3 и 1
1- sqrt{22} и 3
1 и 3+sqrt{22}
1 < 3+sqrt{22} => первый промежуток (x≤(1- sqrt{22})/3) не пойдет в ответ.
Сравним значения 3 и (1+ sqrt{22})/3:
3 и (1+ sqrt{22})/3
9 и 1+ sqrt{22}
8 и sqrt{22}
sqrt{64} и sqrt{22}
sqrt{64} > sqrt{22} => второй промежуток (x≥(1+ sqrt{22})/3) частично входит в ответ.
Сравним 1 и (1+ sqrt{22})/3:
1 и (1+ sqrt{22})/3
3 и 1+ sqrt{22}
2 и sqrt{22}
sqrt{4} и sqrt{22}
sqrt{4} < sqrt{22} => неравенство верно при x принадлежащем [(1+ sqrt{22})/3; 3]
Пусть x>3
x+1-x+3x^2-3x-2x+6-x-2≥0
1+3x^2-3x-2x+6-x-2≥0
3x^2-6x+5≥0
D/4=9-15<0 => неравенство верно при любом x>3, поскольку выражение в левой части представляет собой параболу ветви вверх, которая не пересекает ось оХ, соответственно она принимает только положительные значения.
Ответ: x принадлежит [(1+ sqrt{22})/3; +∞).

Answer 2

Спасибо большое