Question

Геометрия( Знатоки, помогите решить!

Answer 1

Примем ребро основания за 1.
Проведём апофему МД боковой грани МBC.
Рассечём пирамиду плоскостью АЕР, перпендикулярной грани МВС (и апофеме МД тоже).
Рассмотрим осевое сечение пирамиды по ребру МА.
Отрезок АК - это перпендикуляр к МД.
Отрезок МО - высота пирамиды.
Отрезок АД - это высота основания, АД = 1*cos 60° = √3/2.
АД точкой О делится 2:1.
АО = (2/3)АД = (2/3)/(√3/2) = √3/3.
ОД = (1/3)АД = (1/3)*(√3/2) = √3/6.
Угол КАД равен 90°-60° = 30°.
АК = АД*cos 30° = (√3/2)*(√3/2) = 3/4.
КД = АД*sin30° = (√3/2)*(1/2) = √3/4.
МД = ОД/(cos 60°) = (√3/6)/(1/2) = 2√3/6 = √3/3.
МК = МД-КД = (√3/3)-(√3/4) = √3/12.
Отрезок ЕР по свойству подобия треугольников равен:
ЕР = ВС*(МК/МД) = 1*((√3/12)/(√3/3)) = 3/12 = 1/4.
Находим площадь сечения АЕР:
S(АЕР) = (1/2)АК*ЕР = (1/2)*(3/4)*(1/4) = 3/32.
У пирамиды МАЕР отрезок МК - её высота как перпендикуляр к основанию.
Объём этой пирамиды как части пирамиды МАВС равен:
V(МАЕР) = (1/3)S(АЕР)*МК = (1/3)*(3/32)*(√3/12) = √3/384.
Вторая часть - это пирамида АЕРВС.
Площадь ЕРВС равна:
 S(ЕРВС) = КД*((ЕР+ВС)/2) = (√3/4)*((1/4)+1)/2) = 5√3/32.
Объём второй пирамиды как части пирамиды МАВС равен:
V(АЕРВС) = (1/3)*S(ЕРВС)*АК = (1/3)*(5√3/32)*(3/4) = 5√3/128.
Отношение объёмов равно:
(√3/384)/(5√3/128) = 1/15.

0a64f11a58f63090b70a80ae45827c59.docx