Question

В правильный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.

Answer 1

Как известно, центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис. Так как наш треугольник равносторонний, то медианы и биссектрисы совпадают, а значит центр окружности делит каждую из них в отношении 2:1. Отсюда делаем вывод, что радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен трети медианы этого треугольника.

Найдем медиану. Так как треугольник равносторонний, то все углы равны 60°. Получаем, что синус любого из углов равен √3/2. 
$dfrac{h}{a}= dfrac{ sqrt{3} }{2} \ h= dfrac{a sqrt{3} }{2}$
значит
$r= dfrac{1}{3}* dfrac{a sqrt{3} }{2}= dfrac{a sqrt{3} }{6}$

Ответ: $dfrac{a sqrt{3} }{6}$