Question

Найдите max и min sina+sinb+sinc если a+b+c=180°. Пожалуйста, с доказательством!

Answer 1

$a+b+c=180^circRightarrow c = 180^circ - a - b\sin a + sin b + sin c = sin a + sin b + sin(180^circ-a-b)=\=sin a + sin b + sin(180^circ)cos(a+b)-cos(180^circ)sin(a+b)=\=sin a + sin b + sin (a + b)=2sin({a+bover 2})cos({a-bover2})+sin(a+b)=\=2sin({a+bover2})(cos({a-bover2})+cos({a+bover2}))=4sin({a+bover2})cos({aover2})cos({bover2})$
Нам достаточно найти максимум при некоторых значениях $a_1,,b_1$, а минимум будет иметь то же по модулю значения, но обратный знак (если есть некоторое максимальное значение при $a_1,,b_1$, то взяв $-a_1,,-b_1$ мы получим, что синус поменяет знак на противоположный, а косинусы сохранят знак. Если же у минимума модуль больше, чем у максимума, то также поменяем знак и получим новый максимум)
Теперь осталось найти максимум.

$sin(a)+sin(b)+sin(c)=2sin({a+bover2})cos({a-bover2})+sin cleq\leq2sin({a+bover2})+sin(c)=2cos({cover2})+sin c$
Найдем наибольшее значение функции $f(x)=2cos({xover2})+sin x$:
$f'(x)=-sin({xover2})+cos x\f'(x) textless 0Rightarrow 1-2sin^2{xover2}-sin{xover2} textless 0\sin ({xover2})=t,,|t|leq1\2t^2+t-1 textgreater 0\2(t-{1over2})(t+1) textgreater 0\tin({1over2};1)Rightarrow {xover2}in({piover6}+2pi k;{5piover6}+2pi k),,kinmathbb{Z}\xin({piover3}+4pi k;{5piover3}+4pi k),,kinmathbb{Z}$
На полученном интервале f(x) убывает. Кроме того, f(x) имеет период 4π.
Таким же образом приходим к интервалу на котором f(x) возрастает (просто меняем знак неравенства):
$|t|leq1\2(t-{1over2})(t+1) textless 0\tin(-1;{1over2})Rightarrow {xover2}in(-{7piover6}+2pi k;{piover6}+2pi k),,kinmathbb{Z}\xin(-{7piover3}+4pi k;{piover3}+4pi k),,kinmathbb{Z}$
Значит достаточно проверить значение в точках 
$x={piover3}+4pi k,kinmathbb{Z}$
Как нетрудно убедится, в этих точках
$f(x)={3sqrt3over2}$
Таким образом,
$sin a+sin b+sin cleq{3sqrt3over2}$
Но при $a=b=c=60^circ$ достигается это значение.

Значит максимальное значение: ${3sqrt3over2}$
Минимальное: $-{3sqrt3over2}$