Question

решите систему неравенств. объясните пожалуйста как понЯть одз и что делать с модулем?

Answer 1

Мало баллов :(

Попробую начать с ОДЗ. Заметим, что в первом неравенстве знаменатель не должен быть равен 0. То есть $2x-1neq 0$

 

$xneq 0,5$

 

$xin(-infty;0,5)cup(0,5;infty)$ - это и есть ОДЗ.

 

Попробую решить сначала первое неравенство.

 

$frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}leqslant 1$

 

$frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}leqslant frac{2x-1}{2x-1}$

 

$frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}-frac{2x-1}{2x-1}leqslant 0$

 

$frac{2*x^2-2x+1-(2x-1)}{2x-1}leqslant 0$

 

$frac{2*x^2-2x+1-2x+1}{2x-1}leqslant 0$

 

$frac{2*x^2-4x+2}{2x-1}leqslant 0$

 

$frac{2*(x^2-2x+1)}{2x-1}leqslant 0$

 

Сократим обе части на 2.

 

$frac{x^2-2x+1}{2x-1}leqslant 0$

 

$frac{(x-1)^2}{2x-1}leqslant 0$

 

Заметим, что числитель при любых х будет неотрицательным. Только при х=1. Дробь обращается в 0 и удовлетворяет неравенству.

Значит все остальное зависит от знаменателя. Нам нужно решить довольно простое неравенство 2х-1<0. Равенство невозможно, так как противоречит ОДЗ. х<0,5.

 

Значит решением этого неравенства будет

 

$xin(-infty; 0,5)cup {1}$

 

Теперь попытаемся решить второе неравенство, учитывая первое.

$25x^2-3*|3-5x|<30x-9$

 

$25x^2-30x+9-3*|3-5x|<0$

 

$25x^2-30x+9<3*|3-5x|$

Выделим полный квадрат в левой части

$(3-5x)^2<3*|3-5x|$

 Обозначим через t=|3-5x|. Тогда t - неотрицательно. Перепишем неравенство

 

$t^2<3t$

 

$t*(t-3)<0$

 

Так как t - неотрицательно, то все зависит от второго множителя.

 

t-3<0

 

|3-5x|-3<0 (*)

 

Рассмотрим 2 случая

 

$1) quad 3-5xgeqslant 0$

 

$3geqslant 5x$

 

$frac{3}{5}geqslant x$

 

$0,6geqslant x$

 

$xleqslant 0,6</var>quad(**)$</p> <p> </p> <p>Тогда модуль раскрывается в неравенстве (*)</p> <p> </p> <p> (3-5х)-3<0</p> <p>3-5x-3<0</p> <p>-5х<0</p> <p>x>0</p> <p>Учитывая (**) решением этого случая будет <img src=[/tex]xin(0;0,6]" title="xleqslant 0,6quad(**)" title="xin(0;0,6]" title="xleqslant 0,6quad(**)" alt="xin(0;0,6]" title="xleqslant 0,6quad(**)" />

 

Тогда модуль раскрывается в неравенстве (*)

 

 (3-5х)-3<0

3-5x-3<0

-5х<0

x>0

Учитывая (**) решением этого случая будет $xleqslant 0,6</var>quad(**)$

 

Тогда модуль раскрывается в неравенстве (*)

 

 (3-5х)-3<0

3-5x-3<0

-5х<0

x>0

Учитывая (**) решением этого случая будет $<var>xin(0;0,6]$

 

$2)quad 3-5x<0$

 

$3<5x$

$frac{3}{5}<x$

 

$2)quad 3-5x<0$

 

$3<5x$

$<var>xin(0;0,6]$

 

$2)quad 3-5x<0$

 

$3<5x$

$frac{3}{5}<x$

$<var>0,6<x$

$<var>xin(0,6;infty)</var>quad (***)$

 

Тогда модуль раскрывается в виде

-(3-5х)-3<0

-3+5x-3<0

-6+5x<0

5x<6

x<1,2 

Учитывая, условие  (***) $<var>xin(0,6;1,2)$

$<var>0,6<x$

$<var>xin(0,6;infty)</var>quad (***)$

 

Тогда модуль раскрывается в виде

-(3-5х)-3<0

-3+5x-3<0

-6+5x<0

5x<6

x<1,2 

Учитывая, условие  (***) $frac{3}{5}<x$

$<var>0,6<x$

$<var>xin(0,6;infty)</var>quad (***)$

 

Тогда модуль раскрывается в виде

-(3-5х)-3<0

-3+5x-3<0

-6+5x<0

5x<6

x<1,2 

Учитывая, условие  (***) $<var>xin(0,6;1,2)" /></var></p> <p>Во втором неравенстве объединяется оба случая. Так как это решения в двух различных случаях. Объединением [tex]xin(0;0,6]cup(0,6;1,2)$ будет $xin(0;1,2).$

 

Решением систему неравенств будет пересечение решений первого и второго неравенств.

 

То есть

По правилам пересечений и объединения множеств

$left((-infty;0,5)cup{1}right)cap(0;1,2)=$

 $((-infty;0,5)cap(0;1,2))cup({1}cap(0;1,2))=$

$=(0;0,5)cup{1}$

 

Ответ: $(0;0,5)cup{1}$