Question

Решите уравнение и выбрать корни из промежутка [П;2П]: tg^2 x-5/sin(4,5П-x) +7=0

Answer 1

ОДЗ: $cos x ne 0\ xne dfrac{ pi }{2} + pi n,n in mathbb{Z}$
$tg^2x- dfrac{5}{sin( frac{9 pi }{2} -x)} +7=0\ \ tg^2x- dfrac{5}{cos x} +7=0|cdot cos^2x\ sin^2 x-5cos x+7cos ^2x=0\ 1-5cos x+6cos^2x=0$

Пусть $cos x=t$, причем $|t| leq 1$, тогда имеем

$6t^2-5t+1=0$

Решая квадратное уравнение, имеем:

$t_1= frac{1}{2} \ t_2= frac{1}{3}$

Обратная замена.

$cos x= dfrac{1}{3} \ \ x=pm arccosbigg(dfrac{1}{3} bigg)+2 pi n,n in mathbb{Z}\ \ \ cos x=dfrac{1}{2} \ \ x=pm dfrac{pi}{3} +2 pi n,n in mathbb{Z}$


Отбор корней.

$n=1;,,,, x=-arccosbigg(dfrac{1}{3} bigg)+2 pi$

$n=1;,, x=- dfrac{pi}{3} +2 pi =dfrac{5pi}{3}$