Question

Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0.
x^2+z^2-4y^2=-2xy , M0(2, 2, -1)

Answer 1

$f(x,y,z)=x^2+z^2-4y^2+2xy$
Эта функция задана в неявном виде.

Вычислим частные производные функции.
$displaystyle frac{partial z}{partial x} =- frac{ frac{partial f}{partial x} }{ frac{partial f}{partial z} } =- frac{2x+2y}{2z} =- frac{x+y}{z} \ \ \ frac{partial z}{partial y} =- frac{ frac{partial f}{partial y} }{ frac{partial f}{partial z} } = -frac{-8y+2x}{2z} = frac{4y-x}{z}$

Значения частных производных в заданной точке.
$displaystyle frac{partial z}{partial x} (2;2;-1)=- frac{2+2}{-1} =4\ \ \ frac{partial z}{partial y}(2;2;-1)= frac{4cdot 2-2}{-1} =-6$

Уравнение касательной в общем виде:
$z-z_0=f'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)$

$z+1=4(x-2)-6(y-2)\ \ -4x+6y+z-3=0$

Найдем теперь уравнение нормали касательной.
Канонический вид уравнения нормали: $displaystyle frac{x-x_0}{f'_x(x_0,y_0,z_0)} = frac{y-y_0}{f'_y(x_0,y_0,z_0)} = frac{z-z_0}{-1}$

В нашем случае:

$displaystyle frac{x-2}{4} = frac{y-2}{-6} = frac{z+1}{-1}$