Question

Решить интеграл приемом интегрирования тригонометрических выражений (подробнее пожалуйста) $1) int { frac{dx}{4cosx+3sinx-1} }$
$2) int { frac{2cos( frac{pi}{2}-x)sin^4xdx}{cos^2x+1} }$

Answer 1

В первом примере универсальная тригонометрическая подстановка$displaystyle intlimits { frac{1}{4cos x+3sin x-1} } , dx =bigg{tg frac{x}{2} =u;,,, sin x= frac{2u}{u^2+1} ;,, cos x= frac{1-u^2}{u^2+1} bigg}=$

$displaystyle = intlimits { frac{2}{(u^2+1)( frac{6u}{u^2+1}+ frac{4(1-u^2)}{u^2+1}-1) } } , du=intlimits { frac{2}{6u-5u^2+3} } , du=$
Выделим полный квадрат.
$displaystyle =intlimits { frac{2}{-( sqrt{5}u- frac{3}{ sqrt{5} } )+ frac{24}{5} } } , du=bigg{ sqrt{5}u- frac{3}{ sqrt{5} } =t;,,, dt= sqrt{5} dubigg}=\ \ \ = frac{2}{ sqrt{5} } intlimits { frac{1}{ frac{24}{5} -t^2} } , dt= frac{2}{ sqrt{5} } cdot frac{ sqrt{5} }{2cdot sqrt{24} } lnbigg| frac{t+ sqrt{ frac{24}{5} } }{-t+ sqrt{ frac{24}{5} } } bigg|+C=$
$displaystyle = frac{1}{ sqrt{24} } lnbigg| frac{ sqrt{5} tg frac{x}{2} - frac{3}{ sqrt{5} } +sqrt{frac{24}{5}}}{- sqrt{5} tg frac{x}{2}+ frac{3}{ sqrt{5} } +sqrt{frac{24}{5}}} bigg|+C$



$displaystyle intlimits { frac{2cos(pi/2-x)sin^4x}{cos^2x+1} } , dx=intlimits { frac{2sin^5x}{cos^2x+1} } , dx=bigg{u=cos xbigg}=\ \ \ =-2intlimits { frac{(1-u^2)^2}{u^2+1} } , du=-2intlimits {bigg(u^2-3+ frac{4}{u^2+1} bigg)} , du=\ \ \ =-8arctgu-2cdot frac{u^3}{3} +6u+C=-8arctg(cos x)-2cdot frac{cos^3x}{3} +6cos x+C$