Question

при каком значении(или значениях) а уравнение имеет два положительных корня, один из которых в 3 раза больше другого?(по теореме виета)
x^2+(a-5)x-a+20=0

Answer 1

Пусть это корни $x_1,,3x_1$ (один в 3 раза больше другого. Тогда по т.Виета:
$left{begin{array}{c}x_1+3x_1=5-a&x_1*3x_1=20-aend{array}right\\ left{begin{array}{c}x_1={5-aover4}&x_1=pmsqrt{20-aover3}Rightarrow aleq20end{array}right$

По условию x > 0:
${5-aover4}=sqrt{20-aover3}\\75-30a+3a^2=320-16a\\3a^2-14a-245=0\D=3136=56^2\a_1={14+56over6}={35over3}\a_2={14-56over6}=-7$

Проверим каждое из них:
Для первого получим уравнение
$x^2-{20over3}x+{25over3}=0\\(x-{5over3})(x-5)=0\\x_1={5over3}\x_2=5$
Условие выполняется.
Для второго:
$x^2-12x+27=0\(x-3)(x-9)=0\x_1=3\x_2=9$
Условие выполняется