Question

Найдите пределы функций

Answer 1

$displaystyle lim_{x to 9} frac{x-9}{ sqrt[3]{x-1}-9 } =$
Домножим числитель и знаменатель на $( sqrt[3]{(x-1)^2} +2 sqrt[3]{x-1} +4)$

$displaystyle lim_{x to 9} frac{(x-9)( sqrt[3]{(x-1)^2} +2 sqrt[3]{x-1} +4)}{( sqrt[3]{x-1} -2)( sqrt[3]{(x-1)^2} +2 sqrt[3]{x-1} +4)} =\ \ \ lim_{x to 9} frac{(x-9)( sqrt[3]{(x-1)^2} +2 sqrt[3]{x-1} +4)}{( sqrt[3]{x-1})^3-2^3 } =\ \ \ = lim_{x to 9} frac{(x-9)( sqrt[3]{(x-1)^2} +2 sqrt[3]{x-1} +4)}{x-1-8} =\ \ \ = lim_{x to 9} ( sqrt[3]{(x-1)^2} +2 sqrt[3]{x-1} +4)=2^2+2^2+2^2=12$

$displaystyle lim_{x to +infty} frac{ sqrt[3]{x^4+3} - sqrt[3]{x^3+4} }{ sqrt[3]{x^7+1} } = lim_{x to +infty} frac{ sqrt[3]{ frac{1}{x^3} + frac{3}{x^7} } - sqrt[3]{ frac{1}{x^4} + frac{4}{x^7} } }{ sqrt[3]{1+ frac{1}{x^7} } } =\ \ \ = frac{ sqrt[3]{0+0} - sqrt[3]{0+0} }{ sqrt[3]{1+0} } =0$


$displaystyle lim_{x to 2} frac{x^3+3x^2-9x-2}{x^5-32} boxed{=}$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^3+3x^2-9x-2=x^3-2x^2+5x^2-10x+x-2=\ \ =x^2(x-2)+5x(x-2)+x-2=(x-2)(x^2-5x+1)$


$x^5-32=x^5-2^5=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)$

Вычислим предел теперь
$boxed{=},,displaystyle lim_{x to 2} frac{(x-2)(x^2-5x+1)}{(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)}=\ \ \ = lim_{x to 2} frac{x^2-5x+1}{x^4+2x^3+4x^2+8x+16} = frac{3}{16}$