Question

Доказать, что 7^(n+2) + 8^(2n+1) кратно числу 57 для любого целого неотрицательного методом матиндукции.

Answer 1

Подставим n=0: 7^2+8^1=57 - делится на 57.

Пусть для некоторого n утверждение справедливо, докажем его для n+1:

7^(n+1+2)+8^(2(n+1)+1)=7·7^(n+2)+64·8^(2n+1)=
7·7^(n+2)+7·8^(2n+1)+57·8^(2n+1)=
7(7^(n+2)+8^(2n+1))+57·8^(2n+1).

Внутри скобки стоит выражение, которое делится на 57 по предположению; второе слагаемое делится на 57, потому что является произведением 57 на целое число⇒все выражение делится на 57.

Тем самым утверждение доказано методом математической индукции