Question

решить дифференциальные уравнения

y'*√(1-x^2 ) = 1+y^2

(x^2-1)*y^'+2xy^2=0

y^'=(2x+y)/2x

Answer 1

1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные (y'=dy/dx), интегрируем.
$y' sqrt{1-x^2} =1+y^2,\\ intfrac{dy}{1+y^2} = intfrac{dx}{ sqrt{1-x^2} } ,\\ arctg(y)=arcsin(x)+C, y=tg(arcsin(x)+C)$
2. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
$(x^2-1)y'+2xy^2=0,\\ intfrac{dy}{y^2} = -2intfrac{xdx}{(x^2-1)} ,\ -frac{1}{y}=- ln(x^2-1)+C,text{ }y= frac{1}{ln(x^2-1)-C}$
3. Обыкновенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Преобразуем уравнение:
$y'= frac{(2x+y)}{2x}|/x,text{ }y'= frac{2+ frac{y}{x} }{2}$
И сделаем замену переменной:
$z= frac{y}{x},text{ }y=zx,text{ }y'=z+z'x$
Подставляем в исходное уравнение, разделяем перменные и интегрируем:
$frac{dz}{dx}x+z= frac{2+z}{2} ,text{ }int frac{dz}{2-z} =int frac{dx}{2x},\\ -ln(2-z)= frac{ln(x)}{2}+ln(C) ,[z=frac{y}{x}],-ln(2-frac{y}{x})=frac{ln(x)}{2}+ln(C),\\ y=2x+Csqrt{x}$