Предмет: Математика, автор: mefody66

Очередная 26 задача из ОГЭ.
Две окружности, вписанные в угол О, касаются друг друга внешним образом.
Точки A, B, C, D - точки касания окружностей и угла.
O1 и O2 - центры окружностей.
Их радиусы r = 15, R = 21.
Рисунок прилагается.
Требуется:
1) Определить, параллельны ли отрезки AB и CD.
(Мне кажется - не всегда!)
2) Найти наименьшее расстояние между этими отрезками.
Если они параллельны, то просто найти расстояние между ними.
В учебнике ответ 35, но мне кажется, что это опечатка и должно быть 15+21=36.
Как это решить?

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Ivanov2017
0
отрезки AB и CD параллельны всегда - можно доказывать, рассматривая равенства всяких треугольников, но проще заметить, что имеется симметрия относительно биссектрисы угла О - если бы отрезки были не параллельны - не было бы симметрии.
обозначим MN - расстояние между AB и CD

далее проще использовать тригонометрию

обозначим половину угла О через  alpha
sin a= frac{R-r}{R+r}

 frac{r}{OB}=tg alpha \
OB= frac{r}{tg alpha }  \
 frac{OM}{OB}=cos alpha  \
OM=OB*cos alpha

 frac{R}{OD}=tg alpha \
OD= frac{R}{tg alpha }  \
 frac{ON}{OD}=cos alpha  \
ON=OD*cos alpha
OM=r* frac{cos alpha }{tg alpha } = frac{rcos^2  alpha }{sin alpha }  \
ON=R* frac{cos alpha }{tg alpha } = frac{Rcos^2  alpha }{sin alpha }

OM=r* frac{cos alpha }{tg alpha } = frac{rcos^2  alpha }{sin alpha }  \
ON-OM=(R-r) frac{cos^2  alpha }{sin alpha } =(R-r) frac{1-sin^2  alpha }{sin alpha }

ON-OM=(R-r) frac{1- ( frac{R-r}{R+r} )^{2}  }{( frac{R-r}{R+r} ) }= frac{2r*2R}{R+r} = frac{4rR}{R+r}

ON-OM=frac{4rR}{R+r}= frac{4*15*21}{21+15} = frac{1260}{36} =35

Ответ: 35

Автор ответа: Ivanov2017
0
это стандартная формула и свойство - угол О зависит только от R и r
Автор ответа: mefody66
0
Извините, я ничего не понял. Откуда вы взяли, что O2K = R-r и что угол O2O1K = a = половине угла О?
Похожие вопросы
Предмет: Литература, автор: dinusja14