Question

 

  Через   середину   K   медианы   B M   треугольника   A BC   и   вершину   A   проведена   прямая , пересекающая   сторону   B C   в   точке   P . Найдите   отношение   площади   треугольника   A BK   к   площади   четырёхугольника   K PCM

Answer 1

Пусть S - площадь тр АВС

Пл АВМ = пл СВМ =  1/2  S так как медиана делит треуг на равновеликие 

В треуг МАВ отрезок АК - тоже медиана т.к. К - середина ВМ

тогда 

Пл  АВК = пл МАК =  1/2 пл АВМ = 1/2 * 1/2  * S = 1/4 S

Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК

КР = 1/4 АР ( это очевидно если провести среднюю линии через М параллельно СВ т.к. средняя линия делит АР пополам, а К середина ВМ то К делит половину АР тоже пополам)

Тогда площадь ВКР / площадь ВАК  = 1/3  (так как у них общая высота а основания КР/КА = 1/3 ) 

Тогда пл ВКР = 1/3 * пл АВК = 1/3 * 1/4  * S = 1/12 * S

Тогда  Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК =  1/2 * S - 1/12 * S = 5/12 * S

Теперь можно найти отношение площади   треугольника   ABK   к   площади   четырёхугольника   KPCM = ( 1/4* S  ) /  (5/12 * S) = 3/5

 

Ответ 3/5