Question

а) Решите уравнение (tg2x/tgx)+tg^2x=2 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-П/3; 4П/3] .

Answer 1

$frac{tg2x}{tgx}+tg^2x=2; \ frac{2tgx}{1-tg^2x}* frac{1}{tgx}+tg^2x=2; \ frac{2}{1-tg^2x}+tg^2x=2; \ tg^2x=t; \ frac{2}{1-t}+t=2; \ frac{2}{1-t}=2-t; \ (1-t)(2-t)=2; \ 2-t-2t+t^2-2=0; \ t^2-3t=0; \ t(t-3)=0; \ t=0; \ t-3=0; \ t=3.$
tg²x=0;
x=πn, n∈Z;
или
tg²x=3;
|tgx|=√3;
tgx=+-√3;
x=+-arctg√3+πk, k∈Z;
x=+-π/3+πk, k∈Z.
ОДЗ:
tgx≠0;
x≠πn, n∈Z.
Находим корни на промежутке (-π/3; 4π/3] на тригонометрической окружности: x1=π/3; x2=4π/3. (см. рисунок)