Question

НАЙТИ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

$y= sqrt[3]{2cos x+3sin x-sqrt{13}+27}$

Answer 1

Формула: $asin xpm bcos x= sqrt{a^2+b^2} sin (xpm arcsin frac{b}{ sqrt{a^2+b^2} } )$

Упростим нашу функцию:
$y= sqrt[3]{ sqrt{3^2+2^2} sin (x+arcsin frac{2}{ sqrt{3^2+2^2} })- sqrt{13} +27 } =\ \ = sqrt[3]{sqrt{13}sin(x+arcsin frac{2}{sqrt{13}})-sqrt{13}+27 }$

Область значений $sin x$ - промежуток $[-1;1]$

Оценим в виде двойного неравенства:

$-1 leq sin (x+arcsin frac{2}{sqrt{13}} ) leq 1$
Умножим почленно неравенство на $sqrt{13}$
$-sqrt{13} leq sqrt{13}sin(x+arcsin frac{2}{sqrt{13}} ) leq sqrt{13},,,|-sqrt{13}+27$

$-2sqrt{13}+27 leq sqrt{13}sin(x+arcsin frac{2}{sqrt{13}})-sqrt{13} +27 leq 27$

Возведем неравенство в степень $dfrac{1}{3}$

$sqrt[3]{-2sqrt{13}+27} leq sqrt[3]{sqrt{13}sin(x+arcsin frac{2}{sqrt{13}})-sqrt{13}+27 } leq 3$

Область значений данной функции: $E(y)=[ sqrt[3]{-2sqrt{13}+27}, ;3]$

Наибольшее значение: $3.$

Answer 2

Красивое решение.