Question

Решите 3 номер, фото внутри.

Answer 1

2.
1)
$int (2sin3x)dx={2over3}int sin3x ,d(3x)=-{2over3}cos{3x}+C\M({piover3};0)\{2over3}+C=0\C=-{2over3}\F(x)=-{2over3}(cos3x+1)$

2)
$int (3cos2x)dx={3over2}int cos2x ,d(2x)={3over2}sin{2x}+C\M({piover4};0)\{3over2}+C=0\C=-1.5\F(x)=1.5(sin2x+1)$

3.
1)
$F(x)=int(3x-1)dx={3over2}x^2-x+C\{3over2}x^2-x+C=5\3x^2-2x+(2C-10)=0\D=4-24C+120=0\24C=124\C={31over6}\\F(x)={3over2}x^2-x+{31over6}$

2)
$F(x)=int(2x-4)dx=x^2-4x+C\x^2-4x+C=1\x^2-4x+(C-1)=0\D=16-4C+4=0\4C=20\C=5\\F(x)=x^2-4x+5$

Answer 2

N3.  Найти ту первообразную F(x)  функции f(x) =3x-1  [ f(x) =2x-4 ] для которой уравнение  F(x) =5    [  F(x) =1 ]  имеет  два равных корня . 
=======
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(3x-1)dx = ∫ 3xdx - ∫dx  = 3∫ xdx - x +C =(3/2)x²  - x +C .
По условию уравнение F(x) = 5  имеет  два равных корня  . 
F(x) = 5 ⇔ (3/2)x² - x +C= 5 ⇔(3/2)x² - x + C- 5 =0  это  квадратное уравнение  и имеет  два равных корня ,  если  дискриминант D =0 ,
т.е. 1² - 4*(3/2)*(C -5)= 0  ⇔1 - 6(C -5)= 0  ⇒  C =31/6 .

ответ :  F(x) = (3/2)x² - x +31/6. 
---------------
[ Уравнение F(x) =1 меет  два равных корня
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(2x-4)dx = ∫ 2xdx - ∫4dx  = x² - 4x +C .
F(x) =1 ⇔ x² - 4x +C = 1 ⇔x² - 4x -( 1 -C) =0 .    D /4 =2² +1 -C = 0  ⇒ C =5 .
ответ :  F(x) = x² - 4x +5.  ]