Question

$intlimits^infty_0 {frac{5sinx}{x} , dx$

Answer 1

$A=int limits _0^{infty }frac{sinx}{x}dx$

Рассмотрим функцию  $I(t)=int limits _0^{infty }e^{-tx}cdot frac{sinx}{x}dx; ,; ; t geq 0$  .

Тогда  $A=I(0)$  .
Дифференцируя под знаком интеграла по переменной t получим :

$I'(t)=-int limits _0^{infty }e^{-tx}cdot sinx, dx$ 

Этот интеграл легко вычисляется при t>0 по частям:

$I'(t)=frac{1}{t}cdot int limits _0^{infty }sinxcdot d(e^{-tx})=[int u, dv=uv-int v, du; ]=\\=frac{1}{t}(sinxcdot e^{-tx}|_0^{infty }-int limits _0^{infty }e^{-tx}cdot cosx, dx)=\\=frac{1}{t^2}(cosxcdot e^{-tx}|_0^{infty }+int limits _0^{infty }e^{-tx}cdot sinx, dx)=frac{1}{t^2}Big (-1-I'(t)Big )\\I'(t)=frac{1}{t^2}Big (-1-I'(t)Big ); ; to ; ; I'(t)=-frac{1}{1+t^2}$

Интегрируя полученное соотношение находим

$I(t)=-int frac{dt}{1+t^2}=-arctgt+C$

Постоянную С находим из условия   $I(+infty )=0$  .

$\0=-frac{pi}{2}+C; ; to ; ; ; C=frac{pi}{2}\\I(t)=frac{pi}{2}-arctgt$

Функция $I(t)$  непрерывна, поэтому искомый интеграл может быть найден с помощью предельного перехода:

$intlimits^{infty }_0 {frac{sinx}{x}dx} =I(0)=limlimits _{tto 0}I(t)=limlimits _{tto 0}(frac{pi}{2}-arctgt)=frac{pi}{2}\\\ intlimits^{infty }_0 {frac{5sinx}{x}} , dx =frac{5pi}{2}$