Question

Объясните, пожалуйста, теорему Виета! С примерами(не меньше 3).

 

 

Answer 1

вам нужно найти корня уравнения

 

x^2-26x+25=0

по теорме виета сумма корней -(-26), то есть 26

а произведение 25

методом подбора можно найти корни: это 1 и 25. проверим: -(1+25)=-26 - верно, 1*25=25 - верно

 

 

теорема облечает решение квадратных уравнений

например нужно найти сумму корней уравнения

x^2+5x+4=0

не решая уравнения можно сказать, что сумма равна -(5), так как по теормеме виета сумма равна числу,противоположному среднему члену

 

или найти произведение корней уравнения

x^2+4x+1=0

по т. Виета произвдение равно 1

 

но не надо забывать,что теорема только для приведенного уравнения, то есть когда а=1. чтобы пользоваться теормеой виета нужно сначала привести уравнение к приведенному

Answer 2

Это очень просто. Рассматриваем приведённое квадратное уравнение. Приведённое - это такое у которого первый коэффициент (при Х в квадрате) равен единице. Оно имеет такой общий вид: Х в квадрате +рХ +q = 0 . Р называется вторым коэффициентом, а q -свободный член. Теорема Виета гласит так: сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком, то есть минус р ,а произведение этих корней равно свободному члену q. Простейший пример: Х в квадрате -4Х +3 =0. Находим корни этого уравнения , они равны 3 и 1. По т%

Answer 3

Ответ:

Пусть дано квадратное уравнение a•x²+b•x+c=0, a≠0. Теорема Виета доказывается для приведённых квадратных уравнений, то есть когда коэффициент a=1.  А другие уравнения приводятся к такому виду.

Теорема Виета. Числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения x²+p•x+q=0 тогда и только тогда, когда пара (x₁; x₂) является решением системы:

$displaystyle left { {{x_{1} +{x_{2} = -p} atop {{x_{1} * {x_{2} =q}} right.$

Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы. Ещё, теорема Виета даёт способ подбора корней:

Корни уравнения являются делителями свободного члена q!  

Отсюда вывод: если корни уравнения целочисленные, то легко определить корни, если разложить свободный член q на множители.

Рассмотрим примеры.

Пример-1. Решить уравнение: x²–3•x+2=0.

Решение. По теореме Виета x₁ + x₂ = 3 и x₁ · x₂ = 2. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 2 = 1•2 = (–1)•(–2). Но из x₁ + x₂  = 3 видно, что корнями уравнения будут x₁=1 и x₂=2.

Пример-2. Решить уравнение: x²–6•x+8=0.

Решение. По теореме Виета x₁ + x₂  = 6 и x₁ · x₂ = 8. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 8 = 1•8 = 2•4 = (–1)•(–8) =  (–2)•(–4). Но из x₁ + x₂  = 6 видно, что корнями уравнения будут x₁=2 и x₂=4.

Пример-3. Решить уравнение: x²+4•x+4=0.

Решение. По теореме Виета x₁ + x₂  = –4 и x₁ · x₂ = 4. Предполагая, что корни уравнения целочисленные рассмотрим разложение: 4 = 1•4 = 2•2 = (–1)•(–4) =  (–2)•(–2). Но из x₁ + x₂  = –4 видно, что корнями уравнения будут x₁= –2 и x₂= –2.

Вот основная суть теоремы Виета.