Question

найдите максимум и минимум функции f(x)=1+3x-x^3/3-X^4/4

Answer 1

$f'(x)=(1+3x-frac{x^3}{3}-frac{x^4}{4})'=3-x^2-x^3\ f'(x)=0;~~~ 3-x^2-x^3=0~~~|cdot (-1)\ \ x^3+x^2-3=0$

Используем тригонометрическую формулу Виета:

a=1; b=0; c=-3.

$Q=dfrac{a^2-3b}{9}=dfrac{1^2-3cdot0}{9}=dfrac{1}{9}approx0.1111$

$R=dfrac{2a^3-9ab+27c}{54}=dfrac{2cdot1^2-9cdot1cdot0+27cdot(-3)}{54}=-dfrac{79}{54}approx-1.463$

$S=Q^3-R^2=-2.139$

Так как S<0, то кубическое уравнение имеет один действительный корень и две пары комплексных корней.

$phi=dfrac{1}{3}{rm Arch}bigg(dfrac{|R|}{sqrt{|Q|^3}}bigg)approx1.456$

$x=-2{rm sgn},(R)sqrt{Q}{rm ch}, phi-dfrac{a}{3}approx1.175$

_____+____(1.175)_____-_____

Производная функции в точке x=1.175 меняет знак с (+) на (-), следовательно, х=1,175 - точка максимума.

y(1.175) = 1+3*1.175 - (1.175³/3) - (1.175⁴/4) ≈ 3.5 - наибольшее значение функции