Question

Решите пожалуйста (х-3)*((х-3)/(х+4))^1/3-(х+4)*((х+4)/(х-3))^1/3=7

Answer 1

Первый способ.

$displaystyle (x-3) sqrt[3]{ frac{x-3}{x+4} } -(x+4) sqrt[3]{ frac{x+4}{x-3} }=7$

Разделим обе части уравнения на $(x+4)$, получаем

$displaystyle frac{x-3}{x+4} cdot sqrt[3]{ frac{x-3}{x+4} } - sqrt[3]{ frac{x+4}{x-3} } = frac{7}{x+4}$

Пусть $displaystyle sqrt[3]{ frac{x+4}{x-3} } =t;,,,,,,Rightarrow frac{x+4}{x-3} =t^3,,,, Rightarrow,, -frac{t^3x-3t^3-x-4}{x-3} =0$
, тогда получаем: 

$displaystyle t^{-4}-t= frac{7}{x+4} ;,,,,,, Rightarrow ,, frac{t^5x+4t^5+7t^4-x-4}{t^4(x+4)} =0$

Запишем эти уравнения в виде системы:

$displaystyle begin{cases} & text{ } - dfrac{t^3x-3t^3-x-4}{x-3}=0 \ & text{ } dfrac{t^5x+4t^5+7t^4-x-4}{t^4(x+4)} =0 end{cases}$
Дробь обращается в нуль, если числитель дроби равен нулю.

$begin{cases} & text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \ & text{ } t^5x+4t^5+7t^4-x-4=0 end{cases}$
Очевидно, что следующая система будет эквивалента предыдущей системе:

$begin{cases} & text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \ & text{ } t^3x-3t^3-x-4=t^5x+4t^5+7t^4-x-4 end{cases}\ \ begin{cases} & text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \ & text{ } t^3x-3t^3-t^5x-4t^5-7t^4=0 end{cases}\ \ begin{cases} & text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \ & text{ } t^3(x-3-t^2x-4t^2-7t)=0 ,,,,,,,,,,,,,,(star) end{cases}$

Уравнение $(star)$ разбивается на 2 уравнения.
$t^3=0\ t=0$
Подставим эту переменную и найдем $x$
$0^3cdot x-3cdot 0^3-x-4=0\ -x-4=0$
$x=-4$ - лишний корень, так как дробь обращается в нуль.

$x-3-t^2x-4t^2-7t=0\ \ x-t^2xunderbrace{-3-4t^2-7t}_{-(t+1)(4t+3)}=0\ \ (t+1)(1-t)x+(t+1)(-4t-3)=0\(t+1)(-tx-4t+x-3)=0\ t+1=0\ t=-1$
Подставим и найдем переменную $x$
$(-1)^3cdot x-3cdot(-1)-x-4=0\ -x+3-x-4=0\ -2x=1\ x=- dfrac{1}{2}$

$begin{cases} & text{ } t^3x-3t^3-x-4=0 \ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } t^3x-3t^3-x-4=-tx-4t+x-3 \ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}$
$begin{cases} & text{ } t^3x-3t^3-7-tx-4t=0 \ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}$
Выпишем первое уравнение и разложим на множители:
$t^3x-3t^3-7-tx-7t=0\ t^3x-txunderbrace{-3t^3-4t-7}_{(t+1)(-3t^2+3t-7)}=0\ \ (t+1)(t^2-t)x+(t+1)(-3t^2+3t-7)=0\ (t+1)(t^2x-3t^2-tx+3t-7)=0\ t+1=0\ t=-1$
При $t=-1$ корень же будет $x=-0.5$

$begin{cases} & text{ } t^2x-3t^2-tx+3t-7=0 \ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}$
Подставим
$begin{cases} & text{ } t^2x-3t^2-tx+3t-7=-tx-4t+x-3=0 \ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}\ \ begin{cases} & text{ } t^2x-3t^2+7t-x-4=0 \ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}$
Снова выпишем первое уравнение и разложим на множители:
$t^2x-3t^2+7t-x-4=0\ t^2x-xunderbrace{-3t^2+3t-4}_{(t-1)(4-3t)}=0\ (t-1)(t+1)x+(t-1)(4-3t)=0\ (t-1)(tx-3t+x+4)=0\ t=1$

Подставим $t=1$
$1^3cdoy x-3cdot 1^3-x-4=0\ -7=0$
Уравнение решений не имеет

$begin{cases} & text{ } tx-3t+x+4=0 \ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}$
Снова же подставляем
$begin{cases} & text{ } tx-3t+x+4=-tx-4t+x-3 \ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}\ \ begin{cases} & text{ } -7t+2x+1=0 ,,,,,,,,,,,,,, (starstar)\ & text{ } -tx-4t+x-3=0 end{cases}$

Из уравнения $(starstar)$ выразим переменную х и подставим во второе уравнение

$begin{cases} & text{ } x=(7t-11)cdot0.5 \ & text{ } -tcdot0.5(7t-11)-4t +0.5(7t-1)-3=0|cdot 2 end{cases}\ \ -7t^2+8t-1-8t-6=0\ -7t^2-7=0\ t^2+1=0$
Это уравнение решений не имеет, т.к. левая часть уравнения принимает только положительные значения



Ответ: $- dfrac{1}{2}$


ВТОРОЙ СПОСОБ

$displaystyle (x-3) sqrt[3]{ frac{x-3}{x+4} } -(x+4) sqrt[3]{ frac{x+4}{x-3} }=7$

Представим правую часть уравнения в виде:

$displaystyle (x-3) sqrt[3]{ frac{x-3}{x+4} } -(x+4) sqrt[3]{ frac{x+4}{x-3} }=(x+4)-(x-3)$

Теперь разделим обе части уравнения на $(t+4)$, получаем:

$displaystyle frac{x-3}{x+4}cdot sqrt[3]{ frac{x-3}{x+4} } - sqrt[3]{ frac{x+4}{x-3} }=1- frac{x-3}{x+4}$

Пусть $dfrac{x-3}{x+4} =t^3$, тогда получаем
$displaystyle t^3cdot sqrt[3]{t^3} - sqrt[3]{ frac{1}{t^3} } =1-t^3\ \ t^3cdot t- frac{1}{t} =1-t^3\ t^4- frac{1}{t} =1-t^3|cdot t\ \ t^5+t^4-t-1=0\ t^4(t+1)-(t+1)=0\ (t+1)(t^4-1)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$t+1=0\ t=-1\ \ t^4-1=0\ t^4=1\ t=pm 1$


Обратная замена:
$dfrac{x-3}{x+4} =-1|cdot(x+4)\ \ x-3=-x-4\ 2x=-1\ x=- dfrac{1}{2}$

$dfrac{x-3}{x+4} =1|cdot(x+4)\ x-3=x+4\ -3=4$
Уравнение решений не имеет.


Ответ: $- dfrac{1}{2}$