Question

Упростите выражения
а)√2sin(π/4 + α) - cosα - sinα;
б)√2sin(α - 45°) - sinα + cosα;
в)2cos(60° - α) - √3 sinα - cosα;
г)√3cosα - 2cos(α - 30°) + sinα.

Answer 1

$1); ; sqrt2sin(frac{pi}{4}+a)-cosa-sina=\\=sqrt2sin( frac{pi}{4} +a)-underbrace {sin(frac{pi}{2}-a)-sina}_{-(sinx+siny)}=\\=sqrt2sin(frac{pi}{4}+a)-2cdot sinfrac{(frac{pi}{2}-a)+a}{2}cdot cosfrac{(frac{pi}{2}-a)-a}{2}=\\=sqrt2sin(frac{pi}{4}+a)-2cdot sinfrac{pi}{4}cdot cos(frac{pi}{4}-a)=\\=sqrt2sin(frac{pi}{4}+a)-2cdot frac{sqrt2}{2}cdot sin(frac{pi}{2}-(frac{pi}{4}-a))=\\=sqrt2sin(frac{pi}{4}+a)-sqrt2sin(frac{pi}{4}+a)=0$

$2); ; sqrt2sin(a-45^circ )-sina+underbrace {cosa}_{sin(90-a)}=\\=sqrt2sin(a-45)-(sina-sin(90-a))=\\=sqrt2sin(a-45)-2sin(a-45)cdot cos45=\\=sqrt2sin(a-45)-2sin(a-45)cdot frac{sqrt2}{2}=0\\3); ; 2cos(60-a)-sqrt3sina-cosa=\\=2cos(60-a)-2cdot (frac{sqrt3}{2}sina+frac{1}{2}cosa)=\\=2cos(60-a)-2cdot (underbrace {sin60cdot sina+cos60cdot cosa}_{cos(60-a)})=\\=2cos(60-a)-2cdot cos(60-a)=0$

$4); ; sqrt3cdot cosa-2cos(a-30)+sina=\\=sqrt3cdot cosa-2cdot (cosacdot cos30+sinacdot sin30)+sina=\\=sqrt3cdot cosa-2cdot (cosacdot frac{sqrt3}{2}+sinacdot frac{1}{2})+sina=\\=sqrt3cdot cosa-sqrt3cdot cosa-sina+sina=0$