Question

Помогите, пожалуйста, вычислить:
limx→0 (cosx)^(4*ctg²(x))

Answer 1

$lim_{x to 0} cos^{4ctg^{2}x}x$
$lim_{x to 0} e^{ln(cos^{4ctg^{2}x}x)}$
$e^{ln(cos^{4ctg^{2}x}x)}=exp (4ctg^{2}xln(cosx)$
exp = экспонента
$lim_{x to 0} exp(4ctg^{2}xln(cosx))$
$lim_{x to 0} e^{4ctg^{2}xln(cosx)}=e^{ lim_{x to 0} 4ctg^{2}xln(cosx) }$
$lim_{x to 0} 4ctg^{2}xln(cosx)=4 lim_{x to 0} ctg^{2}xln(cosx):$
$e^{4 lim_{x to 0} ctg^{2}xln(cosx)}$
Дальше по правилу Лопиталя:
$e^{4 lim_{x to 0} frac{ln(cosx)}{ frac{1}{ctg^{2}x} } }$
$lim_{x to 0} frac{ln(cosx)}{ frac{1}{ctg^{2}x} } = lim_{x to 0} frac{ frac{dln(cosx)}{dx} }{ frac{d}{dx ctg^{2}x} } = lim_{x to 0} frac{- frac{sinx}{cosx} }{ frac{2csc^{2}x}{ctg^{3}x} }=$
$= lim_{x to 0} -frac{ctg^{3}xsinx}{2cos(x)csc^{2}x}$
$e^{4 lim_{x to 0} - frac{ctg^{3}xsinx}{2cos(x)csc^{2}x} }$
$lim_{x to 0} - frac{ctg^{3}xsinx}{2cosx*csc^{2}x}=- frac{1}{2}$
$e^{- frac{1}{2}*4 lim_{x to 0} frac{ctg^{3}xsins}{cosx*csc^{2}x} }$
$ctgx= frac{cosx}{sinx}$
$cscx= frac{1}{sinx}$
$frac{ctg^{3}xsinx}{cosx*csc^{2}x}=cos^{2}x$
$e^{ -frac{4 lim_{x to 0} cos^{2}x }{2} }$
$lim_{x to 0} cos^{2}x=cos^{2}(0)=1$
$e^{- frac{1}{2}*4 }= frac{1}{e^{2}}$