Question

найти экстремум функций и точки экстремума функций z=z(x;y)
определить вид экстремума минимум и максимум.
z=-5x^2+2y^2+4x-8y

Answer 1

действовать будем так: найдем производную функции по х и по у, приравняем их к 0, составим систему и найдем решение. Это решение будет стационарной точкой

$z=-5x^2+2y^2+4x-8y$
$z'_x=-10x+4$
$z'_y=4y-8$

$left { {{-10x+4=0} atop {4y-8=0}} right.$
$left { {{x=0.4} atop {y=2}} right.$

стационарная точка - (0,4;2)

Далее необходимо определить характер этой самой точки - максимум это, или минимум.
Для этого составим матрицу из вторых производных и проверим ее главные миноры. Так как у нас функция 2 переменных, то матрица будет размерности 2*2, следовательно, главные миноры - это вторая производная по хх, и определитель всей матрицы. Если определитель матрицы положительный, то экстремум существует и его характер проверяется по знаку второй производной по хх, если отрицательный, то экстремума нет. 
$z''_{xx}=-10$
$z''_{xy}=0$
$z''_{yx}=0$
$z''_{yy}=4$

$W= left[begin{array}{cc}z''_{xx}&z''_{xy}\z''_{yx}&z''_{yy}end{array}right] = left[begin{array}{cc}-10&0\0&4end{array}right]$
$|W|=-10*4=-40$

Как видно, определитель матрицы меньше 0, поэтому глобального экстремума нет