Question

ПОмогите с интегралом)

Answer 1

$displaystyle intlimits { frac{cos^2x}{sin^{10}x} } , dx =intlimits {ctg^2xsin^8x} , dx =intlimits {ctg^2x(ctg^2x+1)^4} , dx =\ \ \ =intlimits {bigg(ctg^{10}x+4ctg^8x+6ctg^6x+4ctg^4x+ctg^2xbigg)} , dx = \ \ \ =intlimits {ctg^{10}x} , dx +4intlimits {ctg^8x} , dx +6intlimits {ctg^6x} , dx +4intlimits {ctg^4x} , dx +intlimits {ctg^2x} , dx =$

Воспользуемся известной формулой:
 $displaystyleintlimits {ctg^nx} , dx =- frac{ctg^{n-1}}{n-1} -intlimits {ctg^{m-2}x} , dx$

Если $n=10$
$=- frac{1}{9} ctg^9x+3displaystyleintlimits {ctg^8x} , dx +6intlimits {ctg^6x} , dx+ 4intlimits {ctg^4x} , dx +intlimits {ctg^2x} , dx =$

Если $n=8$
$= frac{1}{9} ctg^9x- frac{3}{7} ctg^7x+displaystyle3intlimits {ctg^6x} , dx +4intlimits {ctg^4x} , dx +intlimits {ctg^2x} , dx =$
Если $n=6$

$= displaystylefrac{1}{9} ctg^9x- frac{3}{7} ctg^7x- frac{3}{5} ctg^5x+displaystyleintlimits {ctg^4x} , dx +intlimits {ctg^2x} , dx =$
Если $n=4$

$=displaystyle- frac{1}{9} ctg^9x- frac{3}{7} ctg^7x- frac{3}{5} ctg^5x- frac{1}{3}ctg^3x+C$


Второй пример будем пользоваться формулой:
  $sin alpha sin beta = dfrac{cos( alpha - beta )-cos( alpha + beta )}{2}$

$displaystyle intlimits {sin 2xsin5x} , dx = frac{1}{2} intlimits {bigg(cos 3x-cos 7xbigg)} , dx =\ \ \ = frac{1}{2} intlimits {cos3x} , dx - frac{1}{2}intlimits {cos7x} , dx = frac{1}{6} sin3x- frac{1}{14} sin7x+C$