Question

Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений выражения

3sin7a + 3cos7a

Answer 1

Формула: $asin xpm bcos x= sqrt{a^2+b^2} sin(xpmarcsin frac{b}{ sqrt{a^2+b^2} } )$

$3sin7 alpha +3cos 7 alpha = sqrt{3^2+3^2} sin ( 7alpha +arcsin frac{3}{ sqrt{3^2+3^2} } )=\ \ \ =3 sqrt{2} sin(7 alpha + frac{pi}{4} )$

Cинус принимает свои значения $[-1;1]$

$-1 leq sin( 7alpha + dfrac{pi}{4} ) leq 1,, bigg|cdot3 sqrt{2} \ \\ -3 sqrt{2} leq 3 sqrt{2} sin( 7alpha + dfrac{pi}{4} )leq 3 sqrt{2}$

Наибольшее $3 sqrt{2}$, а наименьшее $(-3 sqrt{2})$

Их произведение: $3 sqrt{2}cdot(-3 sqrt{2})=-18$

Answer 2

воспользоваться известной формулой преобразования 

$sin x + cos x = sqrt{2} sin ( frac{ pi }{4} +x)$

применив к исходному выражению, получим

$3sin7a + 3cos 7a = 3(sin7a + cos 7a) = 3 sqrt{2} sin ( frac{ pi }{4} +7a)$

максимальное значение этого выражения = $+3 sqrt{2}$
минимальное =$- 3 sqrt{2}$

их произведение = -18

ответ: -18