Question

Виконати дії і записати результат в тригонометричній формі:
$frac{ 1+isqrt{3} }{ 1-isqrt{3}}$

Answer 1

Нехай $z_1=a+bi;,,, z_2=c+di$, тоді

$dfrac{z_1}{z_2} = dfrac{a+bi}{c+di} = dfrac{ac+bd}{c^2+d^2} +bigg( dfrac{bc-ad}{c^2+d^2} bigg)i$

В даному випадку

$dfrac{1+i sqrt{3} }{1-i sqrt{3} } = dfrac{1cdot1+ sqrt{3}cdot(- sqrt{3})}{1^2+( sqrt{3})^2} +bigg( dfrac{ sqrt{3}cdot 1-1cdot (- sqrt{3})}{1+(- sqrt{3})^2} bigg)i=\ \ \ = dfrac{1-3}{1+3} +bigg( dfrac{ sqrt{3}+ sqrt{3}}{1+3} bigg)i= dfrac{-2+2 sqrt{3}i}{4} = dfrac{-1+i sqrt{3}}{2}$


Позначимо $z=-1+i sqrt{3}$, тоді перейдемо до тригонометричної форми комплексних чисел.
$z=|z|(cos x+isin x)$
Знайдемо модуль комплексного числа:
$|z|= sqrt{(-1)^2+ (sqrt{3})^2} =2$

Виносимо теперь за дужки число 2 (після того як знайшли модуль)
$z=2(- dfrac{1}{2} + dfrac{ sqrt{3}}{2} i)$

Аргумент комплексного числа ми можемо знайти 2 способами:

1) Спосіб(Аналітичний)
Оскільки $cos x=- dfrac{1}{2}$ і $sin x= dfrac{ sqrt{3}}{2}$, то ми можемо визначити на якому четверті ці значення. Тобто, у нас будет це 2 четверть, т.к. косинус 2 четверті від'ємний, а синус - додатній. Тобто, це кут $x= dfrac{2 pi }{3}$

2) cпосіб:
Оскільки $-1 textless 0$ і $sqrt{3} geq 0$, то аргумент можем знайти за формулою:
$arg(z)=pi-arctgbigg( dfrac{y}{|x|} bigg)= pi -arctgbigg( dfrac{ sqrt{3} }{|-1|} bigg)= pi - dfrac{ pi }{3} = dfrac{2 pi }{3}$


$z=-1+i sqrt{3} =2bigg(cos bigg(dfrac{2 pi }{3} bigg)+isin bigg(dfrac{2 pi }{3} bigg)bigg)$

Тобто, комплексне число в тригонометричній формі буде мати вигляд:

$dfrac{-1+isqrt{3} }{2} = dfrac{2cdotbigg(cosbigg(dfrac{2 pi }{3} bigg)+isinbigg(dfrac{2 pi }{3} bigg)bigg)}{2} =cosbigg(dfrac{2 pi }{3} bigg)+isinbigg(dfrac{2 pi }{3} bigg)$