Question

решите уравнение F'(x)=0
1) f(x)=sin^2x-sinx+5
2) f(x)=3 cosx + 4sinx - 5z

Answer 1

$1) f(x)=sinx*sinx-sinx+5\f^`(x)=sinxcdot cosx+cosxcdot sinx-cosx=2sinxcdot cosx-cosx=\=cosx(2sinx-1), f^`(x)=0\left[begin{gathered} cosx=0, hfill \ sinx=frac{1}{2}\ end{gathered} Leftrightarrowleft[begin{gathered} x=frac{pi}{2}+pi n , hfill \ x=frac{pi}{6}+2pi n, x=frac{5pi}{6}+2pi n, nin Z \ end{gathered}$

$OTBET: frac{pi}{2}+pi n, frac{pi}{6}+2pi n, frac{5pi}{6}+2pi n, nin Z$

Во втором примере у Вас опечатка (5z), поэтому рассматриваю 2 случая (под буквами a и b). При этом первый решаю с помощью метода универсальной тригонометрической подстановки, где $t=tg(dfrac{x}{2}), sinx=dfrac{2t}{1+t^2}, cosx=dfrac{1-t^2}{1+t^2}$:

$2) a) f(x)=3cosx+4sinx-5x\f^`(x)=-3sinx+4cosx-5, f^`(x)=0\3sinx-4cosx+5=0\3dfrac{2t}{1+t^2}-4dfrac{1-t^2}{1+t^2}+5=0\dfrac{6t-(4-4t^2)+5(1+t^2)}{1+t^2}=0\dfrac{9t^2+6t+1}{1+t^2}=0$

$dfrac{(3t+1)^2}{1+t^2}=0\t=-dfrac{1}{3}\tg(dfrac{x}{2})=-dfrac{1}{3}\\dfrac{x}{2} =-arctg(dfrac{1}{3})+pi n,\x=-2arctg(dfrac{1}{3})+2pi n, nin Z\OTBET: x=-2arctg(dfrac{1}{3})+2pi n, nin Z$

$b) f(x)=3cosx+4sinx-5\f^`(x)=-3sinx+4cosx, f^`(x)=0,\4sinx=3cosx |cdot dfrac{1}{cosx}\4tgx=3\tgx=dfrac{3}{4}\x=arctg(dfrac{3}{4})+pi n, nin Z\OTBET: arctg(dfrac{3}{4})+pi n, nin Z$

Answer 2

1) f '(x) = 2sinx·cosx - cosx = sin2x -sin (π/2 -x)

f '(x) = 0 ⇔  sin2x  = sin (π/2 -x) ⇔ 2x = π/2 -x + 2πn , n∈Z  или  

 2x = π - π/2 +x + 2πk  ,  k ∈Z  ⇔      

  x = π/6 + 2πn/3 ,  n∈Z  или    x = π/2 + 2πk, k ∈Z  

2) f '(x ) = 4cosx - 3sinx  - 5 = 0 ⇔  4cosx - 3sinx = 5 ⇔    

cosx ·4/5 - sinx·3/5 = 1 ;

Пусть  соsα = 4/5 ;  sinα = 3/5  ; α ∈ ( 0 ; π/2) ;      

 cosx·cosα - sinx·sinα = 1  или :

cos(x + α ) = 1 ⇔ x +α = 2πn ; n ∈Z ⇔  x = - arccos 4/5  + 2πn ; n ∈ Z